Probabilités et échantillonnage

(actualisé le ) par wlaidet

Les documents du cours :

Exercices Probabilités
Cours Probabilités
Exercices echantillonnage
Cours echantillonnage
Le cours et des exemples
Corrections echantillonnge version1
Corrections des exercices 2, 3, 4 et 6

Décryptage du cours : Intervalle de Fluctuation

Les définitions :

Intervalle de fluctuation :

Étude 1 : Échantillonnage

Etude1_echant
Etude1

Nous avions déjà commencé à discuter de cette étude. Nous pouvons estimer, qu’en général, que la probabilité d’obtenir un garçon à la naissance est d’environ : p = 50% = 0,5.

Dans le premier cas, sur 243 naissances, il y a eu 101 garçons soit une fréquence de :

$f=\dfrac{101}{243} \approx 0,4156=41,56\%$


Dans le deuxième cas, il y a eu 80% de garçons mais ici, nous voyons que le nombre de naissances est trop faible pour en conclure quelque chose (il n’y a rien d’étonnant ou d’"anormal").

​Le nombre de naissances est donc une donnée importante dans cette étude.

Nous allons étudier le cas 1 :

Afin de déterminer si cette année 2007 dans ce village, la fréquence de naissances de garçons reste globalement conforme à la probabilité théorique (p=50%), nous allons calculer des marges d’erreurs pour déterminer un Intervalle de Fluctuation (noté IF) avec une certitude de 95% :


1) Les données :

p = 50% : La probabilité ou fréquence théorique
n = 243 : Taille de l’échantillon
f = 41,56% : Fréquence observée


​2) Calcul des marges d’erreurs :


$m = \dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{243}} = 0,0642 = 6,42\%$


3) Détermination de l’IF (Intervalle de Fluctuation) :


$IF = [p− \dfrac{1}{\sqrt{n}} ;p+ \dfrac{1}{\sqrt{n}}]=[50\%−6,42\% ;50\%+6,42\%]=[44,58\% ;56,42\%]$


Cela signifie que sur 243 naissances, il y a 95% de chance que la fréquence de garçons soit comprise entre 44,58% et 56,42% (si la probabilité d’avoir un garçon est de 50%).

4) Conclusions :

Dans ce village en 2007, sur 243 naissances, la fréquence de garçons était de 41,56%. Cette valeur n’est pas dans l’Intervalle de Fluctuation !

Nous pouvons affirmer avec une certitude de 95% que la probabilité d’avoir un garçon dans ce village en 2007 n’était pas de 50% (elle était plus faible).

​Remarque :

Si la fréquence observée avait été dans l’intervalle de fluctuation, alors la conclusion aurait été :

"Nous ne pouvons pas réfuter l’hypothèse que la probabilité d’avoir un garçon dans ce village en 2007 était de 50%".

Pour faire plus simple, il est possible que la probabilité d’avoir un garçon soit de 50% dans ce village (rien d’"anormal") mais on ne peut pas l’affirmer.

​A partir de la correction de cette étude, vous avez tout pour faire les exercices 1, 2, 3 et 4.

Présentation de l’intervalle de confiance